Ta có \(T=\frac{2\left(a+b\right)}{\sqrt{4a\left(3a+b\right)}+\sqrt{4b\left(3b+a\right)}}\)

=> \(T\ge\frac{4\left(a+b\right)}{4a+3a+b+4b+3b+a}=\frac{1}{2}\)( vì \(\sqrt{4a\left(3a+b\right)}\le\frac{3a+4a+b}{2}\)

Vậy MinP=1/2  khi a=b

\(\frac{2\left(a+b\right)}{\sqrt{4a\left(3a+b\right)}+\sqrt{4b\left(3b+a\right)}}\) \(\ge\frac{2\left(a+b\right)}{\frac{4a+3a+b}{2}+\frac{4b+3b+a}{2}}=\frac{2\left(a+b\right)}{\frac{8\left(a+b\right)}{2}}=\frac{1}{2}\)

dau = xay ra khi a=b 

Bạn tham khảo:

Câu hỏi của Nguyễn Thị Hồng Ngọc - Toán lớp 9 | Học trực tuyến

+ \(\sqrt{4a\left(3a+b\right)}\le\frac{4a+3a+b}{2}=\frac{7a+b}{2}\)

Dấu "=" \(\Leftrightarrow4a=3a+b\Leftrightarrow a=b\)

+ \(\sqrt{4b\left(3b+a\right)}\le\frac{a+7b}{2}\) Dấu "=" \(\Leftrightarrow a=b\)

\(\Rightarrow\sqrt{4a\left(3a+b\right)}+\sqrt{4b\left(3b+a\right)}\le4\left(a+b\right)\)

\(\Rightarrow\frac{1}{2}Q=\frac{a+b}{\sqrt{4a\left(3a+b\right)}+\sqrt{4b\left(3b+a\right)}}\ge\frac{a+b}{4\left(a+b\right)}=\frac{1}{4}\)

\(\Rightarrow Q\ge\frac{1}{2}\)

Dấu "=" \(\Leftrightarrow a=b\)

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có:

\(\sqrt{a\left(3a+b\right)}+\sqrt{b\left(3b+a\right)}\)

\(\le\sqrt{\left(a+b\right)\left(3a+b+3b+a\right)}\)

\(=\sqrt{4\left(a+b\right)^2}=2\left(a+b\right)\)

\(\Rightarrow\frac{a+b}{\sqrt{a\left(3a+b\right)}+\sqrt{b\left(3b+a\right)}}\ge\frac{a+b}{2\left(a+b\right)}=\frac{1}{2}\)

Áp dụng Cauchy-Schwarz ta có:

\(\frac{a+b}{\sqrt{a\left(3a+b\right)}+\sqrt{b\left(3b+a\right)}}=\frac{1}{2}\)

Ta có: 

\(\frac{a+b}{\sqrt{a\left(3a+b\right)}+\sqrt{b\left(3b+a\right)}}=\frac{2\left(a+b\right)}{\sqrt{4a\left(3a+b\right)}+\sqrt{4b\left(3b+a\right)}}\)

\(\ge\frac{2\left(a+b\right)}{\frac{4a+3a+b}{2}+\frac{4b+3b+a}{2}}=\frac{2\left(a+b\right)}{4\left(a+b\right)}=\frac{1}{2}\)

Dấu = xảy ra khi \(a=b\)

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có: 

\(\sqrt{a\left(3a+b\right)}+\sqrt{b\left(3b+a\right)}=\sqrt{a}\sqrt{3a+b}+\sqrt{b}\sqrt{3b+a}\)

\(\le\sqrt{\left(a+b\right)\left(3a+b+3b+a\right)}=2\left(a+b\right)\)

\(\Rightarrow\frac{a+b}{\sqrt{a\left(3a+b\right)}+\sqrt{b\left(3b+a\right)}}\ge\frac{a+b}{2\left(a+b\right)}=\frac{1}{2}\)

Đẳng thức xảy ra khi \(a=b\)

em mới học lớp 6 thôi,bài này đối với em quá khó ,mong chị thông cảm và chúc chị học giỏi

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có:

\(\sqrt{a\left(3a+b\right)}+\sqrt{b\left(3b+a\right)}=\sqrt{a}\cdot\sqrt{3a+b}+\sqrt{b}\cdot\sqrt{3b+a}\)

\(\le\sqrt{\left(a+b\right)\left(3a+b+3b+a\right)}=2\left(a+b\right)\)

\(\Rightarrow\frac{a+b}{\sqrt{a\left(3a+b\right)}+\sqrt{b\left(3b+a\right)}}\ge\frac{a+b}{2\left(a+b\right)}=\frac{1}{2}\)

Xảy ra khi \(a=b\)

Thắng Nguyễn ơi, bài này dùng cô si được ko bạn

Áp dụng bất đăng thức Bunhiacopxki ta có